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第142章 别出一格的解法（第1页）

陆天手持圆珠笔，笔尖不断在纸张上滑动，一个个优美的数字出现。字很漂亮。但......这是数学，字写的漂亮并没有任何作用！吴老在心中感叹，小李这是看走眼了啊！其他六位高中生此时也已经有人动笔了，而且有人的思路是正确的，正在得出正确答案的道路上一路狂飙。反观陆天，这题解的，属实是有点抽象了。吴老甚至都不知道他是在算些什么。可突的，吴老一愣！因为一个熟悉的数字出现在了他的视野海中。正是论证过程中，某一阶段的重要数字。“这......”吴老懵了，随即倒吸一口冷气，一个惊天的想法出现。难道......陆天是在用另一种解法解题？？可是国际上的那些有名的数学家，当时也只是给出了一个标准答案而已啊！事实上，陆天确实是在用另一种方法解题。他用到的方法叫做“韦达跳跃”。“韦达跳跃”的概念其实都只是来自高中数学，没有什么高深的，只不过是利用了极尽巧妙的方法，把初等数学的威力发挥得淋漓尽致而已。这技巧牵涉到两个重要数学知识：一是韦达定理，一是无穷递降法。韦达定理其实就是二次方程中根的和与积及系数的关系：设一元二次方程ax2+bx+c=0有根α与β，那么α+β=-ba，αβ=ca。这是香港那边，高中数学第一课的内容，是广为人知的。虽然课程没有用到韦达定理这个很专业的名称。至于无穷递降法则是一种反证法，用的是“没有最小，只有更小”的概念。如果我们假设，一方程式如果有一正整数解，那么应该有一最小的解。然后我们再证明“如果有一解，必有另一个更小的解”，也就是说“没有最小，只有更小”，这与方程式有最小解互相矛盾。唯一的可能性就是我们的假设出错，方程式根本上没有解。这个方法最先由地球上的大数学家费马使用，他据此证明了x4+y4=z4没有正整数解，也就是费马大定理中n=4的情况。欧拉也用无穷递降法证明过，每个除4后余数为1的质数都可以表达为两个平方之和。值得一提的是，这定理也是由费马最先提出的，虽然他没有提出证明。此时，陆天的白纸上已经写满了数字，吴老站在后面，是越看越激动！真的是另一种解法！而且比起国际上那些数学专家们给出的标准解法更加的完美漂亮，别出一格！这要是宣传出去，恐怕整个数学界都要震惊于陆天的奇思妙想！是怎么样的一个聪明大脑，才能想出如此精彩独到的解题方法！只见陆天在纸上写道，“ab+1可以整除a2+b2，所以（a2+b2）（ab+1）是正整数。设有正整数a及b满足（a2+b2）（ab+1）=k，其中k不是平方数，我们将制造出一个矛盾去证明这是不可能的，所以k必为平方数。在众多组满足条件的正整数a、b中，必有一组的和是最小的，我们设它为a1与b1。由于把a1与b1互换，也不会影响（a12+b12）（a1b1+1）的值，所以我们不妨假设a1＞=b1。将a1与b1代入上面的式子得到......a1是一元二次方程x2-kb1x+（b12-k）=0的一个根，设方程的另一个根为a2。根据韦达定理，我们得到......由此进一步得到a2需要满足的条件。根据（1），a2必为整数。根据（2），a2不可能是0，因为k不是平方数，b12-k不可能是0。k是正整数，b1是正整数，（a22+b12）（a2b1+1）=k，显然a2不可以是负数。根据上方假设过a1＞=b1，因此根据（2），a2必定小于a1。综上所述，我们有一小于a1的正整数a2，令（a22+b12）（a2b1+1）=k，其中k不是平方数。a2与b1是满足（a2+b2）（ab+1）=k（其中k不是平方数）的一组解，但它们的和比a1与b1小，“没有最小，只有更小”。之前已经假设a1与b1的和是众多组解中最小的，这样就产生矛盾了。因此证明，如果正整数a，b满足ab+1可以整除a2+b2，（a2+b2）（ab+1）必定是平方数！”洋洋洒洒，十分钟不到的功夫，陆天已经将手下一整张A4纸写的密密麻麻，几乎全是数字。“我证明完了！”陆天说着话，回头一看，映入眼帘的，就是一张激动的不可自抑的老脸。吴老激动坏了！他真的激动坏了！这个小陆，真的是天才，完完全全的数学天才！思维开阔，想象力丰富。整篇的论证下来，几乎都是高中的数学知识！“有希望了啊！有希望了啊！”吴老心中呢喃，这么多年了，他总算是看到京城大学数学系有超越水木大学的希望了！小李没有说错，不，还是说错了！吴老心中那个激动啊，这个小陆同学，哪止是给京城大学加五成的胜率啊！小李还是低估了！九成！！在吴老看来，有陆天在，京城大学在这次的国际数学竞赛中，至少有九成的概率夺得冠军！而只要冠军一拿，在今年的全国高校专业评比中，京城大学是极有可能反超水木大学，数学专业成为全国第一！“呃，吴老，我做的对吗？”见到面前的小老头一直笑着不说话，陆天都有点懵了。您笑的我害怕！他知道自己长得帅，可这小老头脸上都笑成了一朵花了是怎么回事？自己的魅力有这么大吗？“咳咳！”听到陆天的声音，吴老也迅速反应了过来，尴尬一笑，“对！证明思路都是对的！恭喜你，小陆同学！”喜欢路遇白丝空姐，摸手就能掉宝（）路遇白丝空姐，摸手就能掉宝。

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